Todo polígono com 4 ou mais lados possuem diagonais e é possível calcular a quantidade de diagonais de um polígono qualquer de N lados utilizando para isso uma simples fórmula matemática, que leva em conta apenas a quantidade de lados que esse polígono possui.
Esta é uma abordagem simples de como determinar quantas diagonais são possíveis traçar num polígono convexo sem ter que propriamente traçá-las, mas apenas sabendo o número de lados do polígono.
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| A explicação da imagem vem a seguir |
Esta é uma abordagem simples de como determinar quantas diagonais são possíveis traçar num polígono convexo sem ter que propriamente traçá-las, mas apenas sabendo o número de lados do polígono.
Tomando um pentágono, temos, por exemplo, que do vértice A partem duas diagonais: 
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Já para um hexágono, temos, por exemplo, que do vértice A partem três diagonais: 
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O que queremos é encontrar uma forma de determinar a quantidade de diagonais sem ter que traçá-las no polígono. Vejam que para um polígono de 4 lados, temos 1 diagonal partindo de um vértice; para um polígono de 5 lados, temos 2 diagonais partindo de um vértice; para um polígono de 6 lados temos 3 diagonais partindo de um vértice. Vejam que o número de diagonais que parte de um vértice é igual à quantidade de lados do polígono menos 3. E para um polígono de N lados, teremos N−3 diagonais partindo de um vértice. Assim, podemos montar uma pequena tabela:
Como o número de vértices é igual ao número de lados do polígono, segue que teremos, com extremidade nos vértices:
No entanto, como cada diagonal tem extremidades em dois vértices, cada diagonal é contada duas vezes, por exemplo no quadrilátero, temos que as diagonais 
, representam a mesma diagonal. Então, basta dividirmos por dois:
, representam a mesma diagonal. Então, basta dividirmos por dois:
Para ilustrarmos esse fato, observamos as imagens abaixo:
Podemos montar uma tabela:
Exemplo 1:
Calcular o número de diagonais de um polígono de 256 lados.
Fazemos:
Portanto, há 32.384 diagonais num polígono de 256 lados.
Exemplo 2:
Qual é o polígono cujo número de diagonais é o quíntuplo do número de lados?
Temos que d=5N. Então, fazemos a substituição:
Daqui, concluímos que ou N=0 ou N=13. Mas, não faz sentido um polígono de 0 lados, logo tomamos N=13 como solução. Assim, o polígono procurado é um tridecágono.
Montemos uma tabela para relembrarmos os nomes dos polígonos:
Exemplo 3:
A diferença entre o número de diagonais de dois polígono é 85 e o número de lados de um é o triplo de número de lados do outro. Quais são estes polígonos?
Dizemos que d1 é o número de diagonais do polígono de NI lados e d2 o número de diagonais do polígono de NII lados. Podemos retirar do problema as seguintes informações:
Temos que:
e
Substituindo d1 e d2 na primeira equação do sistema acima, obtemos:
Mas NII=3NI, assim:
A raiz negativa não nos interessa e o que procuramos é a raiz positiva 5. Assim, fazemos:
Desta forma, os polígonos procurados são o pentágono e o pentadecágono.
Referências:
Fundamentos da Matemática - Ismael Reis - 7ª - Ed. Moderna
KILHIAN, Kleber. "Como determinar o número de diagonais de um polígono convexo de N lados"; O Baricentro da Mente. Disponível em <https://www.obaricentrodamente.com/2014/04/como-determinar-o-numero-de-diagonais.html>. Acesso em 23 de março de 2018.
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