Produtos Notáveis e Fatoração

Produtos Notáveis

Utilizados para simplificar as contas do produto algébrico, os produtos notáveis apresentam cinco casos distintos.

Em Matemática não basta somente teoria, ficar somente lendo conteúdo.
Pesquisadores afirmam que retemos cerca de 20% a 30% do que lemos, aprendemos mais fazendo. A teoria é necessária, mas não suficiente.
Fazendo a soma da teoria com prática de exercícios sua aprendizagem será melhor.
Portanto, comece já com a lista de exercícios abaixo sobre produtos notáveis, veja como esta parte da Matemática é abordada em concursos e aprenda com as soluções apresentadas estratégias para solucionar as questões rapidamente.
Antes de sair resolvendo as questões, verifique primeiro se sabe a teoria necessária, pois nas resoluções das questões, vamos aplicar somente os produtos notáveis diretamente, não usaremos a propriedade distributiva ou alguma regra de potência. Se não conhece os produtos notáveis, acesse o link abaixo.

Lembre-se:
“É fazendo que se aprende a fazer aquilo que se deve aprender a fazer.” Aristóteles

Antes de entendermos o que são produtos notáveis, devemos saber o que são expressões algébricas, isto é, equações que possuem letras e números. Veja alguns exemplos:

2x + 3 = 4
-y + 2x + 1 = 0
z² + ax + 2y = 3

Os produtos notáveis possuem fórmulas gerais, que, por sua vez, são a simplificação de produtos algébricos. Veja:

(x + 2) . (x + 2) =
(y – 3) . (y – 3) =
(z + 4 ). ( z – 4) =

Cinco casos de Produtos Notáveis

Há cinco casos distintos de produtos notáveis, a saber:

Primeiro Caso: Quadrado da soma de dois termos.

quadrado = expoente 2;
Soma de dois termos = a + b;
Logo, o quadrado da soma de dois termos é: (a + b)²

Efetuando o produto do quadrado da soma, obtemos:

(a + b)² = (a + b) . (a + b) =

= a² + a . b + a . b + b²=

= a² + 2 . a . b + b²

Toda essa expressão, ao ser reduzida, forma o produto notável, que é dado por:

(a + b)² = a² + 2 . a . b + b²

Sendo assim, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(2 + a)²=
= 2² + 2 . 2 . a + a² =
= 4 + 4 . a + a²

(3x + y)² =
= (3 x)² + 2 . 3x . y + y²=
= 9x² +6 . x . y + y²

Segundo Caso: Quadrado da diferença de dois termos.

Quadrado = expoente 2;
Diferença de dois termos = a – b;
Logo, o quadrado da diferença de dois termos é: (a - b)².

Vamos efetuar os produtos por meio da propriedade distributiva:

(a - b)²= (a – b) . (a – b)
= a² – a . b – a . b + b² =
= a² – 2 .a . b + b²

Reduzindo essa expressão, obtemos o produto notável:

(a - b)²= a² – 2 .a . b + b²

Temos, então, que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(a – 5c)² =
= a² – 2 . a . 5c + (5c)² =
= a^{2 –} 10 . a . c + 25c²

(p – 2s) =
= p² – 2 . p . 2s + (2s)^{2 =}
= p² – 4 . p . s + 4s²

Terceiro Caso: Produto da soma pela diferença de dois termos.

Produto = operação de multiplicação;
Soma de dois termos = a + b;
Diferença de dois termos = a – b;
O produto da soma pela diferença de dois termos é: (a + b) . (a – b)

Resolvendo o produto de (a + b) . (a – b), obtemos:

(a + b) . (a – b) =
= a² - ab + ab - b² =
= a²+ 0 + b²= a² - b²

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a + b) . (a – b) = a² - b²

Podemos concluir, portanto, que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(2 – c) . (2 + c) =
= 2² – c² =
= 4 – c²

(3x² – 1) . (3x² + 1) =
= (3x²)² – 1² =
= 9x⁴ - 1

Quarto caso: Cubo da soma de dois termos

Cubo = expoente 3;
Soma de dois termos = a + b;
Logo, o cubo da soma de dois termos é: (a + b)³

Efetuando o produto por meio da propriedade distributiva, obtemos:

(a + b)³= (a + b) . (a + b) . (a + b) =
= (a² + a . b + a . b + b²) . (a + b) =
= ( a² + 2 . a . b + b² ) . ( a + b ) =
= a³ +2. a² . b + a . b² + a² . b + 2 . a . b² + b³ =
= a³ +3 . a² . b + 3. a . b² + b³

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a + b)³= a³ + 3 . a² . b + 3 . a . b² + b³

O cubo da soma de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo.

Exemplos

(3c + 2a)³ =
= (3c)³ + 3 . (3c)² .2a + 3 . 3c . (2a)² + (2a)³ =
= 27c³ + 54 . c² . a + 36 . c . a² + 8a³

Quinto caso: Cubo da diferença de dois termos

Cubo = expoente 3;
Diferença de dois termos = a – b;
Logo, o cubo da diferença de dois termos é: ( a - b )³.

Efetuando os produtos, obtemos:

(a - b)³= (a - b) . (a - b) . (a - b) =
= (a² - a . b - a . b + b²) . (a - b) =
= (a² - 2 . a . b + b²) . (a - b) =
= a³ - 2. a² . b - a . b² - a² . b + 2 . a . b² - b³ =
a³ - 3 . a² . b + 3. a . b² - b³

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a - b)³ = a³ - 3 . a² . b + 3 . a . b² - b³

O cubo da diferença de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, menos três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.

Exemplo:

(x - 2y)³ =
= x³ - 3 . x² . 2y + 3 . x . (2y)² – (2y)³ =
x³ - 6 . x² . y + 12 . x . y² – 8y³

Exercícios Resolvidos:

1) Quadrado da soma: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

Ex: (3x + 2)2 = (3x)2 + 2.3.2x + 22 = 9x2 + 12x + 4

2) Quadrado da diferença: (x - y)2 = x2 - 2xy + y2

Ex: (3 – 4x)2 = 32 – 2.3.4x + (4x)2 = 9 – 24x + 16x2

3) Cubo da soma: (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Ex: (x + 2)3 = x3 + 3x2.2 + 3x.22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8

4) Cubo da diferença: (x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3

Ex: (2x - 1)3 = (2x)3 - 3(2x)2.1 + 3(2x).12 - 13 = 8x3 - 12x2 + 6x - 1

5) Produto da soma pela diferença: (x + y)(x - y) = x2 – y2

Ex: (x + 2)(x - 2) = x2 – 22 = x2 – 4

Fatoração

1) Fator comum: colocar o termo comum em evidencia.

Ex: 6x3 - 12x2 + 18x = 6x (x2 - 2x + 3)

2) Trinômio quadrado perfeito:

Reconhecemos um trinômio quadrado perfeito se:

a) dois termos são quadrados perfeitos

b) o 3º termo é igual ao dobro do produto das raízes desses quadrados perfeitos.

Ex: 9x2 + 6x + 1 = (3x)2 + 2.3x.1 + 12 = (3x + 1)2

4 – 4x + x2 = 22 – 2.2.x + x2 = (2 – x)2

3) Diferença de quadrados: x2 – y2 = (x + y)(x – y)

Ex: 16x2 – 9 = (4x)2 – 32 = (4x + 3)(4x – 3)

X2 – 5 = x2 – (Ö5)2 = (x + Ö5)(x - Ö5)

4) Diferença de cubos: x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2),

Ex: 8x3 – 27 = (2x)3 – 33 = (2x – 3)(4x2 + 6x + 9)

5) Soma de cubos: x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2),

Ex: 27x3 + 1 = (3x)3 + 13 = (3x + 1)(9x2 - 3x + 1)

Exercícios de Produtos Notáveis e Fatoração:

I - Efetue os quadrados dos binômios


II - Efetue os produtos de um  binômio por seu conjugado


 


III - Efetue os produtos de Stevin


 


IV - Efetue os cubos dos binômios


 


V - Efetue os quadrados dos trinômios


 


VI - Efetue


 


47) Quanto devemos adicionar ao quadrado de x + 2 para encontrarmos o cubo de x - 3?


48) Determine a quarta parte da diferença entre os quadrados dos polinômios x² + 2x - 1  e  x² - 2x + 1


49) Determine a diferença entre o cubo e o quadrado do polinômio 2x² - 3


50) Se A = 5x² - 2, determine o valor de A² - 3A + 1

Respostas dos exercícios

Enunciados das Questões

1.(OBMEP) Na figura abaixo temos dois quadrados. O maior tem lado a + b e o menor lado a. Qual é a área da região colorida?

A) b2

B) a + b

C) a2 + 2ab

D) 2ab + b2

2. A expressão (x – y)2 – (x + y)2 é equivalente a:

A) 0

B) 2y2

C) -2y3

D) –4xy

3. A expressão (3 + ab).(ab – 3) é igual a:

A) a2b – 9

B) ab2 – 9

C) a2b2 – 9

D) a2b2 – 6

4. Se (x – y)2 – (x + y)2 = -20, então x.y é igual a:

A) 0

B) -1

C) 5

D) 10

5. Se x – y = 7 e xy = 60, então o valor da expressão x2 + y2 é:

A) 53

B) 109

C) 169

D) 420

Soluções das Questões

Questão 1

Repare que a área da região colorida é formada por dois retângulos, portanto se sabemos as medidas do comprimento e largura destes retângulos, facilmente calculamos a medida da região, pois esta é igual à soma das medidas das áreas dos retângulos.

Bem, mas não vamos seguir esta estratégia, um caminho mais simples é o seguinte:

veja que, se da medida da área do quadrado maior (medida do lado = a + b) subtraímos a medida da área do quadrado menor (medida do lado = a), vamos obter a medida da área da região colorida. Simples, não? Observe:

Medida da área do quadrado maior = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Medida da área do quadrado menor = a2.

Medida da área da região colorida = (a2 + 2ab + b2) – (a2) = 2ab + b2.

Questão 2

Primeiro vamos desenvolver os binômios separadamente.

(x – y)2 – (x + y)2

(x – y)2 = x2 – 2xy + y2 e (x + y)2 = x2 + 2xy + y2.

Após desenvolver, voltamos para a expressão e substituímos.

(x – y)2 – (x + y)2 = x2 – 2xy + y2 – (x2 + 2xy + y2) = x2 – 2xy + y2 – x2 – 2xy – y2 =

= x2 – x2 – 2xy – 2xy + y2 – y2 = -2xy – 2xy = -4xy.

Logo, (x – y)2 – (x + y)2 = – 4xy.

Questão 3

Antes de resolvermos o problema, vamos fazer uma pequena mudança, muito importante que vai ajudar a resolver o problema rapidamente. Observe o seguinte:

(3 + ab) é igual a (ab + 3), já que a ordem das parcelas não altera a soma, certo?

(3 + ab).(ab – 3) = (ab + 3).(ab – 3), veja que temos agora o produto da soma de dois termos pela diferença de dois termos (os mesmos!), agora fica fácil aplicar o produto notável.

(3 + ab).(ab – 3) = (ab + 3).(ab – 3) = (ab)2 – 32 = a2b2 – 9.

Questão 4

Em questões deste tipo e em muitas outras, olhamos, procuramos ler uma, duas vezes e por experiência sei que muitos não conseguem sair do lugar, isto é, não conseguem escrever nada. Uma dica: trace uma estratégia, tenha fé e escreva, se não chegar a uma resposta satisfatória, volte, trace outra estratégia e siga com fé!

Vamos a solução. Nossa primeira estratégia será desenvolver a expressão. Vamos lá, com fé!

${(x - y)^2} - {(x + y)^2} = {\rm{ }} - 20 \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} - ({x^2} + 2xy + {y^2}) = - 20 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} - {x^2} - 2xy - {y^2} = - 20 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {x^2} - {x^2} + {y^2} - {y^2} - 2xy - 2xy = - 20 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow - 4xy = - 20 \Leftrightarrow xy = 5.$

Nossa estratégia deu certo, conseguimos chegar a uma solução satisfatória, para verificar se a resposta está certa (é claro que está!), em xy = 5, isole uma incógnita e substitua na expressão original verificando a igualdade, isto é, se é verdadeira. (faça isto para treinar.)

Lembrando que xy = x.y, costuma-se omitir o símbolo de multiplicação.

Questão 5

Do problema, temos a seguinte equação x – y = 7, a princípio não está muito claro o valor de x2+ y2, mas vamos traçar uma estratégia e seguir com fé, novamente.

Na equação x – y = 7, vamos elevar os dois membros ao quadrado, ficando assim

(x – y)2 = 72 , desenvolvendo temos

x2 – 2xy + y2 = 49, veja que já apareceram o x2 e y2, arrumando

x2 + y2 = 49 + 2xy, mas xy = 60 e daí

x2 + y2 = 49 + 2.60, resolvendo

x2 + y2 = 49 + 120, logo x2 + y2 = 169.

Interessante, não?

Utilizamos a estratégia de elevar os dois membros da equação ao quadrado, podemos fazer isso, desde que façamos em ambos os membros e logo apareceu x2 + y2.

Terminamos mais Uma Etapa

Desejo que estes exercícios e soluções tenha lhe ajudado no entendimento desta parte da Matemática, muito importante para prosseguir nos estudos.

E você, tem alguma dúvida em algum conteúdo do ensino fundamental?

Comenta aí pra gente, sua sugestão pode fazer parte de nosso cronograma e você estará contribuindo para melhorar o blog que disponibiliza material gratuito para todos.

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